（五）多元函数微分学
（六）多元函数积分学
多元函数微分学是高等数学中最重要的一部分,该部分中概念较多,选择题中常有概念题,多元函数积分学是高等数学中比较活和比较难的一部分.
（五）多元函数微分学
Ⅰ.概念
二元函数的极限和连续，多元函数的偏导数和全微分，方向导数和梯度。
Ⅱ.重要定理与公式、技巧
ⅰ.注意可导,可微,连续,极限存在之间的相互关系.
函数在某点可微可以推出函数在该点可导,可导不能推出可微.
函数在某点可微可以推出函数在该点连续,连续不能推出可微.
函数在某点连续可以推出函数在该点极限存在,极限存在不能推出连续.
函数在某点极限存在不能推出函数在该点连续,连续不能推出极限存在.
ⅱ.基本定理
（可微与偏导数存在的关系定理）若 在 点处可微,则在该点处 及 必存在,且有： .
（偏导数存在与可微的关系定理）若 的两个偏导数 和 在 点的某邻域存在,并且在 点处连续,则 处 点处可微.
（求偏导数与次序无关的定理）若 的两个混合偏导数 及 在区域D内连续,则有： ＝ .
ⅲ.方向导数与梯度
设 {cos ,cos ,cos },则函数 在点 处沿 方向的方向导数为
梯度：
ⅳ.多元函数求偏导数
◆ 复合函数求偏导数：用链式法则,设 , , ,
◆ 隐函数求偏导数：
由函数 确定隐函数 ,则 ,且
由函数 确定隐函数 则 ,
由三个变量两个方程所构成的方程组,一般是其中两个变量确定为第三个变量的一元函数,例如方程组 确定隐函数 的求法可通过解关于 的线性方程组来完成 将 当作未知量用克莱姆法则求解.
由四个变量两个方程所构成的方程组,一般是其中两个变量确定为另两个变量的二元函数,例如方程组 确定隐函数 , , , 可以通过解关于 , 的线性方程组来完成 用克莱姆法则求解.同理可以求出 , .
ⅴ.多元函数微分学在几何上的应用
◆空间曲线的切线与法平面,关键是求切向量
曲线方程为参数方程 时,在点 处的切向量是{ },曲线方程为一般方程 时,在点（ , , ）处的切向量是{1, , }.
◆空间曲面的切平面与法线,关键是求法向量
曲面方程为方程 时,在点 处的法向量是{ , , }
曲面方程为一般方程 时,在点 处的法向量是 .
ⅵ.多元函数的极值
◆极值的必要条件：若函数 在点（ ）处有偏导数,且在（ ）处取得极值,则有： ＝0, ＝0,（ ）称为驻点.
◆极值的充分条件：设函数 在点（ ）的某邻域内有连续的二阶偏导数,且 ＝0, ＝0,记 ＝A , ＝B, =C,若:
⒈AC—B2>0 当A>0时, 是极大值；当A<0时, 是极小值；
⒉AC—B2<0时, 不是极值.
⒊AC—B2＝0时,无法判断 是否为极值.
◆条件极值：用拉格朗日乘数法,若在约束函数 ＝0的条件下,求目标函数 的极值,则构造拉格朗日函数：
,再从方程组 中解出 ,然后判断（ ）是否为极值点.这里要注意用拉格朗日乘数法所解得得的点只是可能的极值点,因此求出 后要进行检验.
Ⅲ.好题精选
例题1.设函数 ,试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续? ⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？
解：这是一道基本概念题,要熟练掌握连续、可导、可微的充分条件.证明多元函数连续一般用放缩法.
⑴ ,故 ,因此有原函数在点（0,0）处连续.
⑵. 同理可得： .故在点
（0,0）处偏导数存在,且 , .
⑶. 判断可微用定义求,求法如下：
＝ ＝ ＝0.
故原函数在点（0,0）处可微,且
例题2.设函数 在点（0,0）附近有定义,且 , 则：
在点 处的法向量为
曲线 在点 处的切向量为
曲线 在点 处的切向量为
解：A中：题中没有说函数偏导数在点（0,0）处连续,全微分不一定存在.
B中：题中仅仅是说 点（0,0）处在偏导数存在,不能说明切平面存在,更谈不上法向量.
C,D中, 的参数方程是 ,故在在点 处的切向量为 ＝ 因此答案是C.
例题3.设 在第一象限内有二阶连续偏导数,且有 , ,又 ,求 .
解： , ,因此有： .令 ,则 .
由 有： .同理可得：
.由 , 故有： ,即 故有: 则
又由 又 故 因此有 综合有： ,
（六）多元函数积分学
Ⅰ.概念 （略）
Ⅱ.重要定理与公式、技巧
ⅰ. 二重积分,三重积分的计算公式
◆ 二重积分：直角坐标系下积分公式为：
极坐标系下积分公式为：
◆ 三重积分：直角坐标系下积分公式为：
或为：
柱坐标系 下积分公式为：
球坐标系 下积分公式为：
ⅱ. 重积分的应用
几何应用：
◆ 计算曲面面积：
曲面方程为 （该曲面与平行于z轴的直线只相交于一点）的曲面面积为 ,
曲面方程为 （该曲面与平行于z轴的直线只相交于一点）的曲面面积为
物理应用：
◆ 求质量：薄片质量为 空间形体 质量为：
◆ 求质心：薄片质心为 则 , .空间形体 质
心 为 则
◆ 求转动惯量:薄片关于x,y轴及原点的转动惯量分别是：
空间形体 关于x,y,z轴及原点的转动惯量分别是：
以上公式中 分别是薄片和空间形体 的密度函数. 是薄片在xoy坐标面上的投影.
ⅲ . 关于重积分的对称性.
◆ 关于二重积分的对称性：
若积分区域 关于y=0(x轴)对称,则 , 是 的上半平面部分.其余类推.
若x和y相换,积分区域 不变,（即x,y轮换对称,如 ）,
◆关于三重积分的对称性：
若积分区域 关于x=0(yz平面)对称,则
, 是 的以yoz平面为分界面的一半.其余类推.
若x,y,z轮换对称(如以原点为球心的球体),则有：
ⅳ . 关于曲线积分和曲面积分
◆ 第一类曲线积分 形式： 物理意义：线密度为 的弧段的质量.
解题方法：一代 ,二换 ,三定限.
例如：设 是 上从 到 的一段,求 .
解： ＝ ＝ ＝ ＝ .
解题过程中,积分函数为 ,一代 即将 代换为 ,二换 即将 换为 ,三定限即将积分限定为 从0到1.
注意：在代换 时,根据题目所给的方程 形式的不同相应地有三种不同的代换方式：① . ② . ③ .
◆ 第二类曲线积分 形式： 物理意义：变力 沿曲线 所作的功.
解题方法：⑴ 一代 ,二换,三定限.
⑵ 若积分曲线为封闭曲线,直接用格林公式.若积分曲线不为封闭曲线,先把该曲线补为封闭曲线,然后再用格林公式.
⑶ 当 时,可以改变积分路线后再积分.
◆第一类曲面积分 形式： 物理意义：面密度为 的曲面 的质量.
解题方法： 一代 ,二换 ,三投影再定限.
注意：在代换 时,根据题目所给的方程形式的不同相应地有两种不同的代换方式：① .（所给方程形式为 ） ② .（所给方程形式为 ）
◆第二类曲面积分 形式： 物理意义：流体密度 ,速度场为 ,单位时间内流过曲面 一侧的流量.
解题方法：
⑴ 一代,二投影,三定向,将第二类曲面积分转换为二重积分.如 ,“一代”是指将 用 代换,“二投影”是指将曲面 投影到 平面上,使二重积分的积分区域为 .投影时要注意：若曲面 投影到 平面上有重叠,则一定要先分割成不重叠后再投影.“三定向”是指转化为二重积分后取正号还是取负号,若当积分曲面积分的侧与 轴正向成锐角则取正号,与 轴正向成锐角则取负号.对于 以此类解.
⑵ 若积分曲面为封闭曲面,直接用奥高公式.若积分曲面不为封闭曲面,先把该曲面补为封闭曲面,然后再用奥高公式将第二类曲面积分转换为三重积分.
⑶因为 , ,因此 ＝ .当积分曲面积分的侧与 轴正向成锐角则取正号,与 轴正向成锐角则取负号.
Ⅲ.好题精选
例题1.计算二重积分 ,其中D是由曲线 和直线 围成的区域.
解：在极坐标系下, , 原式＝
= .
例题2.计算 , .
解：利用轮换对称性,有：
.
例题3. 设f (x,y)在区域D: , 上有定义,f(0,0)=0,且在（0,0）处f (x,y)可微,求 .
解： ＝
原式
, .而f (x,y)可微,故有
原式＝ .
例题4. 设函数 在 内具有连续一阶导数, 是从点A（3, ）到点B（1,2）的直线段,求曲线积分 .
解：设 ,由 知,该曲线积分与积分路径无关,取积分路径ACB,C是点(1, ),则有
令 ,则上式＝ ＝ －4.
注意,该题利用了曲线积分与路径无关的条件 ,平面曲线积分与路径无关的四个等价条件： 与积分路径无关 使得 ,且 .另外,改变积分路线时要注意所选积分路线与原积分路线围成的区域不能包含积分函数的奇异点,如此题中,选取ACB积分路线与AB直线围成的区域不能包含点(0,0).
例题5. 计算积分 ,其中
① 是球面 外侧.
② 是不包含有原点在其内部存在的光滑闭曲面 的外侧.
③ 是包含有原点在其内部的光滑闭曲面 的外侧.
解：①
②设 , , , ,
, , ,又 不包含有原点在其内部,故可以用奥高公式,
③作小球面 ： , 充分小,取其内侧.
总结：这类题在考研题中经常出现,分析这类题无非有三中情况：
⒈积分式可以代换,且奇异点在积分封闭曲面所形成的体内,代换积分式后无奇异点,再用奥高公式或其它方法解,如①.
⒉积分式不可代换,且奇异点不在积分封闭曲面所形成的体内,直接利用奥高公式.如②.
⒊积分式不可代换,且奇异点在积分封闭曲面所形成的体内,通过作辅助曲面将问题转换为情况1,如③.
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